Question

【題目】在長方體中，分別是的中點，，過三點的的平面截去長方體的一個角后．得到如圖所示的幾何體，且這個幾何體的體積為．

（1）求證：平面；

（2）求的長；

（3）在線段上是否存在點，使直線與垂直，如果存在，求線段的長，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).

【解析】試題分析：(1)證得是平行四邊形,得出線線平行,利用線面平行的判定定理證明命題成立；(2)利用等體積轉化,求出；(3)在平面中作,過作,推出,證明,推出相似于,求得.

試題解析：解：（1）在長方體中，可知，由四邊形是平行四邊形，所以.因為分別是的中點，所以，則，

又面面，則平面．．．．．．．．．．．．4分

（2）∵，

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

（3）在平面中作交于，過作交于點，則.

因為平面平面，∴，而

，∴，

又∵，∴平面,

且平面，∴，

∵，∴，∴，又∵，∴．

∵四邊形為直角梯形，且高，∴．．．．．．．．．． 12分