Question

已知a＞0，n為正整數．
（Ⅰ）設y=（x-a）ⁿ，證明y′=n（x-a）^n-1；
（Ⅱ）設f_n（x）=xⁿ-（x-a）ⁿ，對任意n≥a，證明f_n+1′（n+1）＞（n+1）f_n′（n）．

Answer 1

解：（I）證明：令x-a=t則y=tⁿ
∴y′=nt^n-1•t′
∵t′=1
∴y′=nt^n-1
（II）f_（n+1）（x）=xⁿ⁺¹-（x-a）ⁿ⁺¹
∴f′_n+1（x）=（n+1）xⁿ-（n+1）（x-a）ⁿ
∴f′_（n+1）（n+1）=（n+1）ⁿ⁺¹-（n+1）（n+1-a）n=（n+1）（n+1）ⁿ-（n+1）（n+1-a）ⁿ
而（n+1）f_n′（n）=（n+1）nⁿ-（n+1）n（n-a）^n-1
∵（n+1）（n+1）ⁿ＞（n+1）nⁿ，
∴f′_（n+1）（n+1）＞（n+1）f_n′（n）．
分析：（I）利用復合函數的求導法則，先求出外函數與內函數的導數，再求它們的乘積．
（II）先利用復合函數的求導法則求出函數的導函數，再求x用n+1代替求出導函數值，易比較出兩者的大小．
點評：本題考查復合函數的求導法則：先求外函數及內函數的導數，再求乘積；由導函數求出各個導函數值，比較出大小．