Question

已知曲線，直線l：kx-y-k=0，O為坐標原點．
（1）討論曲線C所表示的軌跡形狀；
（2）當k=1時，直線l與曲線C相交于兩點M，N，若，求曲線C的方程；
（3）當a=-1時，直線l與曲線C相交于兩點M，N，試問在曲線C上是否存在點Q，使得？若存在，求實數λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）分a＜0 時，a=1 時，0＜a＜1 時，a＞1 時這四種情況分別討論．
（2）把直線l的方程代入曲線C的方程，利用根與系數的關系、弦長公式求出 a 的值．
（3）當a=-1時，曲線C表示焦點在x軸上的等軸雙曲線，直線l：kx-y-k=0過曲線C的右頂點（1，0），不妨設為點M，設點N（x₂，y₂），把直線l的方程代入曲線C的方程，由根與系數的關系求得點N坐標及k值，由，求得點Q的坐標，從而得出結論．
解答：解：（1）對于曲線，當a＜0 時，曲線表示焦點在x 軸上的雙曲線；
當a=1 時，曲線表示單位圓；   當0＜a＜1 時，曲線表示焦點在x 軸上的橢圓；
當a＞1 時，曲線表示曲線表示焦點在y 軸上的橢圓．
（2）當k=1時，直線l的方程為 y=x-1，代入曲線得，（a+1）x²-2x+1-a=0，
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=，由弦長公式得  = 
==，∴=1，
∴a=1．
（3）當a=-1時，曲線 即 C：x²-y²=1，表示焦點在x軸上的等軸雙曲線．
直線l：kx-y-k=0過曲線C的右頂點（1，0），不妨設為點M，設點N（x₂，y₂）．
把直線l：kx-y-k=0代入曲線C的方程得 （1-k²）x²+2k² x-k²-1=0，由題意知，1和x₂是此方程的兩個根，
△=4k⁴-4（1-k²）（-k²-1）＞0，∴1+x₂=-，1×x₂=，∴k=0．
∵，∴=（ 1+x₂，0+y₂）=（ 0，0）=（0，0）．
∴點Q （0，0），故點Q不在曲線C上，故不存在點Q滿足條件．
點評：本題考查方程表示的曲線，弦長公式，兩個向量坐標形式的運算，一元二次方程根與系數的關系，求點Q的坐標是解題的難點．