Question

【題目】如圖，在直四棱柱中，底面是矩形，與交于點，.

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析.(2) .

【解析】

（1）根據線面垂直的判定定理，先證明平面，得到，進而可證明結論成立；

（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，求出直線的方向向量、平面的一個法向量，求兩向量夾角的余弦值，即可得出結果.

（1）證明：因為四棱柱是直四棱柱，所以平面，則 .

又，，

所以平面，所以.

因為，，所以是正方形，所以.

又，所以平面.

（2）因為四棱柱是直四棱柱，底面是矩形，所以以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則,，

, ,

設平面的法向量為

由，，可得，

令，則，

設直線與平面所成的角為，

則.

所以直線與平面所成角的正弦值為.