Question

已知函數(shù)f（x）=x²，g(x)=

1

2

λf′(x)+sinx在[-1，1]上是減函數(shù)．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）若g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，推出g（x），通過g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，轉(zhuǎn)化為λ≥-2sin1，求λ的取值范圍；

解答：解：（1）∵f（x）=x²，∴f′（x）=2x，∴f′（1）=2，∴y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0；
（2）由題意得g（x）=λx+sinx，所以g'（x）=λ+cosx，
因g（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，所以g'（x）≤0在[-1，1]上恒成立，
即λ≤-cosx在[-1，1]上恒成立，得λ≤-1．（3分）
因g（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，所以[g（x）]max=g（-1）=-λ-sin1，
又g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，故只需-λ-sin1≤λ+3sin1恒成立
所以λ≥-2sin1，又sin30°＜sin1，所以1＜2sin1，故-2sin1≤λ≤-1

點(diǎn)評：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)在解決恒成立問題的應(yīng)用，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，恒成立的應(yīng)用，是難度較大的題目，常考題型．