Question

在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，0），B（-2，0），C（-2，1）．設k為非零實數，矩陣M=

.

k 0 0 1

.

，N=

.

0 1 1 0

.

，點A、B、C在矩陣MN對應的變換下得到點分別為A₁、B₁、C₁，△A₁B₁C₁的面積是△ABC面積的2倍，
（1）求k的值．
（2）判斷變換MN是否可逆，如果可逆，求矩陣MN的逆矩陣；如不可逆，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先計算MN，再求點A、B、C在矩陣MN對應的變換下得到點分別為A₁、B₁、C₁的坐標，利用△A₁B₁C₁的面積是△ABC面積的2倍，可求k的值．
（2）先設 B=

a b c d

是MN的逆矩陣，則則 AB=

0 k 1 0

a b c d

=

1 0 0 1

列出關于a，b，c，d的方程組，討論方程是否有解即可．

解答：解：（1）由題設得MN=

k 0

0 1

0 1

1 0

=

0 1

k 0

，
由

0 1

k 0

0 0

-2 0

-2 1

=

0 0

0 -2

k -2

，
可知A₁（0，0）、B₁（0，-2）、C₁（k，-2）．
計算得△ABC面積的面積是1，△A₁B₁C₁的面積是|k|，
則由題設知：|k|=2×1=2．
所以k的值為2或-2．
（2）令MN=A，設 B=

a b c d

是A的逆矩陣，則 AB=

0 k 1 0

a b c d

=

1 0 0 1

⇒

ck dk a b

=

1 0 0 1

⇒

ck=1 dk=0 a=0 b=1

①當k≠0時，上式⇒

a=0 b=1 c= 1 k d=0

，MN可逆，（8分）
所以MN的逆矩陣是 B=

0 1 1 k 0

．（10分）
②當k≠0時，上式不可能成立，MN不可逆，（11分）．

點評：本題主要考查逆變換與逆矩陣、圖形在矩陣對應的變換下的變化特點，要求知識較少，但重點考查運算求解能力．