Question

已知函數和

（I）函數在區間（0，+）上是增函數還是減函數？說明理由；

（II）求證：函數在區間（2，3）上有唯一零點；

（III）當時，不等式恒成立，其中是導函數, 求正整數K的最大值。

Answer 1

（1）減函數（2）見解析（3）3

解析:

（I）函數在區間上是減函數。

由于

所以故函數在區間上是減函數。

（II）因為

所以在（2，3）上是增函數

又

所以，函數在區間（2，3）上有唯一零點。

（III）當時，不等式恒成立

即對于恒成立

設，則

由（II）知在區間上是增函數，

且存在唯一實數根,滿足，即

由時，；時，

知的最小值為

故正整數的最大值為3。