Question

以O為原點，

OF

所在直線為x軸，建立直角坐標系．設

OF

•

FG

=1，點F的坐標為（t，0），t∈[3，+∞）．點G的坐標為（x₀，y₀）．
（1）求x₀關于t的函數x₀=f（t）的表達式，并判斷函數f（x）的單調性．
（2）設△OFG的面積S=

31

6

t，若O以為中心，F，為焦點的橢圓經過點G，求當|

OG

|取最小值時橢圓的方程．
（3）在（2）的條件下，若點P的坐標為(0，

9

2

)，C，D是橢圓上的兩點，

PC

=λ

PD

(λ≠1)，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由F的坐標（t，0），．點G的坐標（x₀，y₀）可求出

OF

，

FG

坐標，再代入

OF

•

FG

=1，即可求x₀關于t的函數x₀=f（t）的表達式，再利用對勾函數的單調性判斷函數f（x）的單調性．
（2）先用含點G的坐標式子表示△OFG的面積，再根據△OFG的面積S=

31

6

t，求出y0，再判斷何時|

OG

|取最小值，
可得此時的橢圓方程．
（3）設C，D的坐標分別為（x，y）、（m，n），求

PC

，

PD

坐標，再根據

PC

=λ

PD

用含λ的式子表示n，根據n的范圍求λ的范圍即可．

解答：解：（1）由題意得：

OF

=（t，0），

OG

=（x₀，y₀），

FG

═（x₀-t，y₀），
則：

OF

•

FG

=t(x0-t)=1，解得：x0=f(t)=t+

1

t

所以f（t）在t∈[3，+∞）上單調遞增．
（2）由S=

1

2

|

OF

|•|y₀|=

1

2

|y₀|•t=

31

6

t得y₀=±

31

3

，
點G的坐標為（t+

1

t

，±

31

3

），|

OG

|2=(t+

1

t

)2+

31

9

當t=3時，|

OG

|取得最小值，此時點F，G的坐標為（3，0）、（

10

3

，±

31

3

）
由題意設橢圓的方程為

100

9(b2+9)

+

31

9b2

=1，又點G在橢圓上，
解得b²=9或b²=-

31

9

（舍）故所求的橢圓方程為

x2

18

+

y2

9

=1
（3）設C，D的坐標分別為（x，y）、（m，n）
則

PC

=（x，y-

9

2

），

PD

=（m，n-

9

2

）由

PC

=λ

PD

得（x，y-

9

2

）=λ=（m，n-

9

2

），
∴x=λm，y=λn-

9

2

λ+

9

2

又點C，D在橢圓上

x2 18 + y2 9 =1  λ2m2 18 + (λn- 9 2 λ+ 9 2 )2 9 =1

消去m得n=

13λ-5

4λ

   
|n|≤3，∴|

13λ-5

4λ

|≤3解得

1

5

≤λ≤5
又∵λ≠1
∴實數λ的范圍是[

1

5

，1）∪（1，5]

點評：本題考查了圓錐曲線與函數之間的關系，做題時要認真分析，找到之間的聯系．