Question

【題目】已知函數

當時，討論的導函數在區間上零點的個數；

當時，函數的圖象恒在圖象上方，求正整數的最大值.

Answer 1

【答案】（1）當時，在存在唯一零點；當時，在沒有零點（2）

【解析】

（1）首先求，令，然后求，討論當時，，判斷函數的單調性和端點值，判斷函數是否有零點；當時，同樣是判斷函數的單調性，然后結合零點存在性定理，可判斷函數是否存在零點；（2）由，參變分離求解出在上恒成立，轉化為求函數的最小值，設，，利用導數判斷函數的單調性，求得函數的最小值.

解：（1）.

令，，則,

①當時，當，，單調遞減，又，所以對時，，此時在不存在零點.

②當時，當，，單調遞減.

又因為，取，

則，即.

根據零點存在定理，此時在存在唯一零點.

綜上，當時，在存在唯一零點；當時，在沒有零點.

（2）由已知得在上恒成立.

設，，則

因為時，所以，

設，，所以在上單調遞增，

又，，由零點存在定理，使得，即,，

且當時，，，單調遞減；當時，，，單調遞增.

所以，

又在上單調遞減，而，所以，

因此，正整數的最大值為.