Question

（2012•惠州模擬）如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=2，E是PD的中點．
（1）求證：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求二面角E-AC-D所成平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根據PA⊥平面ABCD，得到PA⊥CD，結合AD⊥CD可得CD⊥平面PAD，因為CD是平面PDC內的直線，所以平面PDC⊥平面PAD；
（2）取AD中點O，過O作OF⊥AC于F，連接EO、EF，利用線面垂直的判定與性質，可證出∠EFO就是二面角E-AC-D的平面角．在Rt△EOF中，分別算出OF和EF的長，可得∠EFO的余弦值，即為所求二面角的平面角的余弦值．

解答：解：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴PA⊥CD
∵AD⊥CD，PA、AD是平面PAD內的相交直線，∴CD⊥平面PAD
∵CD⊆平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD；
（2）取AD中點O，連接EO，
∵△PAD中，EO是中位線，∴EO∥PA
∵PA⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，
∵AC⊆平面ABCD，∴EO⊥AC
過O作OF⊥AC于F，連接EF，則
∵EO、OF是平面OEF內的相交直線，
∴AC⊥平面OEF，所以EF⊥AC
∴∠EFO就是二面角E-AC-D的平面角
由PA=2，得EO=1，
在Rt△ADC中，設AC邊上的高為h，則AD×DC=AC×h，得h=

4 5

5

∵O是AD的中點，∴OF=

1

2

×

4 5

5

=

2 5

5

∵EO=1，∴Rt△EOF中，EF=

EO2+OF2

=

3 5

5

∴cos∠EFO=

OE

EF

=

2

3

點評：本題給出特殊的四棱錐，叫我們證明面面垂直并求二面角的余弦值，著重考查了平面與平面所成角的求法和線面垂直的判定與性質等知識，屬于中檔題．