Question

設(shè)函數(shù)f(x)=(x

a

+

b

)(

a

-x

b

)，其中

a

，

b

是非零向量，則“函數(shù)f（x）的圖象是一條直線”的充分條件是（　　）

• A．

  a

  ⊥

  b

• B．

  a

  ∥

  b

• C．|

  a

  |=|

  b

  |
• D．|

  a

  |≠|(zhì)

  b

  |

Answer 1

分析：根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算法則，得f（x）=（|

a

|²-|

b

|²）x+

a

•

b

-（

a

•

b

）x²．由此可得：當

a

•

b

=0時f（x）=（|

a

|²-|

b

|²）x，是關(guān)于x的一次函數(shù)，滿足圖象是一條直線，即得本題的充分條件．

解答：解：∵f(x)=(x

a

+

b

)(

a

-x

b

)=（|

a

|²-|

b

|²）x+

a

•

b

-（

a

•

b

）x²，
∴當

a

•

b

=0時，f（x）的二次項系數(shù)為零，
得f（x）=（|

a

|²-|

b

|²）x是關(guān)于x的一次函數(shù)，函數(shù)圖象是一條直線
由此可得：“函數(shù)f（x）的圖象是一條直線”的充分條件是

a

•

b

=0
故選：A

點評：本題給出關(guān)于向量數(shù)量積運算的一個函數(shù)，探索函數(shù)為一次函數(shù)的充分條件．著重考查了平面向量數(shù)量積的運算和必要條件、充分條件與充要條件的判斷等知識，屬于基礎(chǔ)題．