Question

若A，B，C是平面直角坐標系中的共線三點，且 

OA

⊥

OB

，

OA

=-2

i

+m

j

，

OB

=n

i

+

j

，

OC

=5

i

-

j

，（其中

i

，

j

分別是直角坐標系x軸，y軸方向上的單位向量，O為坐標原點），求實數m，n的值．

Answer 1

分析：由已知中且 

OA

⊥

OB

，

OA

=-2

i

+m

j

，

OB

=n

i

+

j

，我們由向量垂直的充要條件可以得到

OA

•

OB

=0，進而得到-2n+m=0，由A，B，C是平面直角坐標系中的共線三點，結合向量共線的充要條件，可以得到mn-5m+n+9=0，聯立方程，即可求出實數m，n的值．

解答：解：∵

OA

⊥

OB

，
∴-2n+m=0，①…（2分）
∵A、B、C三點在同一直線上，
∴存在唯一的實數λ使得

AC

=λ

AB

，…（6分）
而

AC

=

OC

-

OA

=7

i

-(m+1)

j

，

AB

=

OB

-

OA

=(n+2)

i

+(1-m)

j

，…（8分）
∴

7=λ(n+2) m+1=λ(m-1)

，
消去λ得到mn-5m+n+9=0．             ②…（10分）
由①得到m=2n，代入②解得：m=6，n=3或m=3，n=

3

2

．                                      …（13分）

點評：本題考查的知識點是平面向量的基本定理及其意義，平行向量與共線向量，熟練掌握向量垂直及平行（共線）的充要條件，是解答本題的關鍵．