Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中點，AA₁=AB
（I）求證：AD⊥B₁D；
（II）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（III）求二面角B-AB₁-D的大小．

Answer 1

分析：方法一：
（1）在正三棱柱中，易證明BB₁⊥平面ABC及AD⊥BD，根據三垂線定理可知：AD⊥B₁D
（2）根據直線與平面平行的判定定理可知，只要在平面AB₁D里面找到一條直線與A₁C平行即可，因為D為BC中點，所以構造平行線的時候可以考慮一下構造“中位線”，連接A₁B，設A₁B∩AB₁=E，連接DE，所以DE∥A₁C．
（3）二面角的度量關鍵在于找出它的平面角，構造平面角常用的方法就是三垂線法．在面ABC內作DF⊥AB于點F，由平面A₁ABB₁⊥平面ABC可知：DF⊥平面A₁ABB₁
方法二：
因為DC、DA及三棱柱為正三棱柱可知，我們可以建立空間直角坐標系D-xyz，這種解法的好處就是：（1）解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關定理，因為這些可以用向量方法來解決．（2）即使立體感稍差一些的學生也可以順利解出，因為只需畫個草圖以建立坐標系和觀察有關點的位置即可．

解答：解：法一（Ⅰ）證明：∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴BB₁⊥平面ABC，
∴BD是B₁D在平面ABC上的射影
在正△ABC中，∵D是BC的中點，
∴AD⊥BD，
根據三垂線定理得，AD⊥B₁D．

（Ⅱ）解：連接A₁B，設A₁B∩AB₁=E，連接DE．
∵AA₁=AB∴四邊形A₁ABB₁是正方形，
∴E是A₁B的中點，
又D是BC的中點，
∴DE∥A₁C．（7分）
∵DE?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．（9分）
（Ⅲ）解：在面ABC內作DF⊥AB于點F，在面A₁ABB₁內作FG⊥AB₁于點G，連接DG．
∵平面A₁ABB₁⊥平面ABC，∴DF⊥平面A₁ABB₁，
∴FG是DG在平面A₁ABB₁上的射影，∵FG⊥AB₁，∴DG⊥AB₁
∴∠FGD是二面角B-AB₁-D的平面角（12分）
設A₁A=AB=1，在正△ABC中，DF=

3

4

．
在△ABE中，FG=

3

4

•BE=

3 2

8

，
在Rt△DFG中，tanFGD=

DF

FG

=

6

3

，
所以，二面角B-AB₁-D的大小為arctan

6

3

．（14分）

解法二：
建立空間直角坐標系D-xyz，如圖，
則D(0，0，0)，A(0，

3

2

，0)，B1(-

1

2

，0，1)．
證明：∵

AD

=(0，

3

2

，0)，

B1D

=(-

1

2

，0，-1)，
∴

AD

•

B1D

=0∴

AD

⊥

B1D

即AD⊥B₁D（4分）

（Ⅱ）解：連接A₁B，設A₁B∩AB₁=E，連接DE．
∵A1(0，

3

2

，1)，E(-

1

4

，

3

4

，

1

2

)，C(

1

2

，0，0)．
∴

A1C

=(

1

2

，-

3

2

，-1)，

DE

=(-

1

4

，

3

4

，

1

2

)，
∴

A1C

=-2

DE

，∴A1C∥DE．（7分）
∵DE?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，∴A₁C∥平面AB₁D．（9分）
（Ⅲ）設n₁=（p，q，r）是平面AB₁D的法向量，則n1•

AD

=0，且n1•

B1D

=0，
故-

3

2

q=0，

1

2

p-r=0．取r=1，得n1=(2，0，1)；
同理，可求得平面AB₁B的法向量是n2=(

3

，-1，0)．（12分）
設二面角B-AB₁-D的大小θ，∵cosθ=

n1•n2

|n1||n2|

=

15

5

，
∴二面角B-AB₁-D的大小為arccos

15

5

．（14分）

點評：本小題主要考查空間線面關系、二面角的度量等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力