Question

已知定義在正實數集上的函數f（x）=

1

2

x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0．設兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，且在該點處的切線相同．
（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；
（Ⅱ）求證：f（x）≥g（x）  （x＞0）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出兩曲線的公共點坐標，分別求出f（x）和g（x）的導函數，把設出點的坐標代入兩導函數中得到兩關系式，聯立兩關系式即可解出公共點的橫坐標，把求出的橫坐標代入得到用a表示出b的式子，設h（t）等于表示出的式子，求出h（t）的導函數，令導函數大于0求出t的范圍即為函數的增區間，令導函數小于0求出x的范圍即為函數的減區間，根據函數的增減性即可求出h（t）的最大值即為b的最大值；
（Ⅱ）設F（x）=f（x）-g（x），求出F（x）的導函數，根據導函數的正負得到F（x）的單調區間，由x大于0和函數的增減性得到F（x）的最小值為0，即f（x）-g（x）大于等于0，得證．

解答：解：（Ⅰ）設y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點（x₀，y₀）處的切線相同．
∵f'（x）=x+2a，g′(x)=

3a2

x

，由題意f（x₀）=g（x₀），f'（x₀）=g'（x₀）．
即

1 2 x 2 0 +2ax0=3a2lnx0+b x0+2a= 3a2 x0

由x0+2a=

3a2

x0

得：x₀=a，或x₀=-3a（舍去）．
即有b=

1

2

a2+2a2-3a2lna=

5

2

a2-3a2lna．
令h(t)=

5

2

t2-3t2lnt(t＞0)，則h'（t）=2t（1-3lnt）．
于是當t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜e

1

3

時，h'（t）＞0；當t（1-3lnt）＜0，即t＞e

1

3

時，h'（t）＜0．
故h（t）在(0，e

1

3

)為增函數，在(e

1

3

，+∞)為減函數，
于是h（t）在（0，+∞）的最大值為h(e

1

3

)=

3

2

e

2

3

．
（Ⅱ）設F(x)=f(x)-g(x)=

1

2

x2+2ax-3a2lnx-b(x＞0)，
則F'（x）=x+2a-

3a2

x

=

(x-a)(x+3a)

x

(x＞0)．
故F（x）在（0，a）為減函數，在（a，+∞）為增函數，
于是函數F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=F（x₀）=f（x₀）-g（x₀）=0．
故當x＞0時，有f（x）-g（x）≥0，即當x＞0時，f（x）≥g（x）．

點評：本小題主要考查函數、不等式和導數的應用等知識，考查綜合運用數學知識解決問題的能力．