Question

某化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場(chǎng)份額，擬在2007年度進(jìn)行一系列促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算，化妝品的年銷(xiāo)量x萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)t萬(wàn)元之間滿(mǎn)足3-x=

k

t+1

（t≥0，k≠0且k為常數(shù)），如果不搞促銷(xiāo)活動(dòng)，化妝品的年銷(xiāo)量只能是1萬(wàn)件．已知2007年生產(chǎn)化妝品的設(shè)備折舊、維修等固定費(fèi)用為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件化妝品需再投入32萬(wàn)元的生產(chǎn)費(fèi)用．若將每件化妝品的售價(jià)定為：平均每件促銷(xiāo)費(fèi)的一半與每件生產(chǎn)成本的150%之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的化妝品正好能銷(xiāo)完．
（注：利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-生產(chǎn)成本-促銷(xiāo)費(fèi)，生產(chǎn)成本=固定費(fèi)用+生產(chǎn)費(fèi)用）
（1）求常數(shù)k的值；
（2）將2007年的利潤(rùn)y（萬(wàn)元）表示為促銷(xiāo)費(fèi)t（萬(wàn)元）的函數(shù)；
（3）該企業(yè)2007年的促銷(xiāo)費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，化妝品的年銷(xiāo)量x萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)t萬(wàn)元之間滿(mǎn)足3-x=

k

t+1

，根據(jù)當(dāng)t=0時(shí)，x=1，求出k的值．
（2）通過(guò)x表示出年利潤(rùn)y，并化簡(jiǎn)整理，代入整理即可求出y萬(wàn)元表示為促銷(xiāo)費(fèi)t萬(wàn)元的函數(shù)．
（3）根據(jù)已知代入（2）的函數(shù)，分別進(jìn)行化簡(jiǎn)即可用基本不等式求出最值，即促銷(xiāo)費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大．

解答：解：（1）由題意：3-x=

k

t+1

，
且當(dāng)t=0時(shí)，x=1．
所以k=2，即 x=

3t+1

t+1

．
（2）由（1）知x=3-

2

t+1

，
當(dāng)年生產(chǎn)x（萬(wàn)件）時(shí)，年生產(chǎn)成本=年生產(chǎn)費(fèi)用+固定費(fèi)用=32x+3，
當(dāng)銷(xiāo)售x（萬(wàn)件）時(shí)，年銷(xiāo)售收入=150%(32x+3)+

1

2

t．
由題意，生產(chǎn)x萬(wàn)件化妝品正好銷(xiāo)完．
∵年利潤(rùn)=年銷(xiāo)售收入-年生產(chǎn)成本-促銷(xiāo)費(fèi)，
∴y=150%(32x+3)+

1

2

t-(32x+3)-t=

1

2

(32x+3)-

1

2

t．
∴y=50-(

t+1

2

+

32

t+1

)（t≥0）．（8分）
（3）y=50-(

t+1

2

+

32

t+1

)≤50-2

16

=42萬(wàn)，
當(dāng)且僅當(dāng)

t+1

2

=

32

t+1

時(shí)取等號(hào)，此時(shí)t=7．
∴當(dāng)促銷(xiāo)費(fèi)定在7萬(wàn)元時(shí)，利潤(rùn)最大為42萬(wàn)．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，看出基本不等式在求最值中的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，強(qiáng)調(diào)對(duì)知識(shí)的理解和熟練運(yùn)用，屬于中檔題．