Question

已知（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x﹣1）+a₂（x﹣1）+a₃（x﹣1）³+…+a_n（x﹣1）ⁿ，（其中n∈N^*）
（1）求a₀及；
（2）試比較S_n與（n﹣2）2ⁿ+2n²的大小，并說明理由．

Answer 1

（1）S_n=3ⁿ﹣2ⁿ
（2）當n=1時，3ⁿ＞（n﹣1）2ⁿ+2n²；
當n=2，3時，3ⁿ＜（n﹣1）2ⁿ+2n²；
當n≥4，n∈N^*時，3ⁿ＞（n﹣1）2ⁿ+2n²

試題分析：（1）令x=1，則a₀=2ⁿ，令x=2，
則，∴S_n=3ⁿ﹣2ⁿ；  （3分）
（2）要比較S_n與（n﹣2）2ⁿ+2n²的大小，即比較：3ⁿ與（n﹣1）2ⁿ+2n²的大小，
當n=1時，3ⁿ＞（n﹣1）2ⁿ+2n²；當n=2，3時，3ⁿ＜（n﹣1）2ⁿ+2n²；
當n=4，5時，3ⁿ＞（n﹣1）2ⁿ+2n²；  （5分）
猜想：當n≥4時n≥4時，3ⁿ＞（n﹣1）2ⁿ+2n²，下面用數學歸納法證明：
由上述過程可知，n=4n=4時結論成立，
假設當n=k（k≥4）n=k，（k≥4）時結論成立，即3ⁿ＞（n﹣1）2ⁿ+2n²，
兩邊同乘以3 得：3^k+1＞3[（k﹣1）2^k+2k²]=k2^k+1+2（k+1）²+[（k﹣3）2^k+4k²﹣4k﹣2]
而（k﹣3）2^k+4k²﹣4k﹣2=（k﹣3）2^k+4（k²﹣k﹣2）+6=（k﹣2）2^k+4（k﹣2）（k+1）+6＞0∴3^k+1＞[（k+1）﹣1]2^k+1+2（k+1）²
即n=k+1時結論也成立，
∴當n≥4時，3ⁿ＞（n﹣1）2ⁿ+2n²成立．
綜上得，當n=1時，3ⁿ＞（n﹣1）2ⁿ+2n²；
當n=2，3時，3ⁿ＜（n﹣1）2ⁿ+2n²；當n≥4，n∈N^*時，3ⁿ＞（n﹣1）2ⁿ+2n²﹣﹣（10分）
點評：本題是中檔題，考查與n有關的命題，通過賦值法解答固定項，前n項和，以及數學歸納法的應用，考查邏輯推理能力，計算能力，常考題型