Question

設函數f(x)=

2x-b

(x-1)2

，已知此函數的圖象在x=2處的切線的斜率為2．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若x∈[2，4]，求函數的值域；
（3）設a≤

1

2

，函數g（x）=x²-8ax-2a，x∈[2，4]．若對于任意的x₁∈[2，4]，總存在x₀∈[2，4]使得g（x₀）=f（x₁）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數f（x）圖象在x=2處的切線的斜率為2，求導，令f′（2）=2，求得b的值，從而求得函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）在（2，4）上的極值，再與f（2）、f（4）比較大小，求得函數的值域；（3）由對于任意的x₁∈[2，4]，總存在x₀∈[2，4]使得g（x₀）=f（x₁）成立，函數g（x）在區間[2，4]上的最大值不小于函數f（x）的最大值，函數g（x）在區間[2，4]上最小值不小于函數f（x）的最小值，轉化為求函數g（x）的最值問題．

解答：解：（1）f′(x)=

-2x2+2bx-2b+2

(x-1)4

∵f′（2）=2   
∴b=4   f(x)=

2x-4

(x-1)2

（2）f′(x)=

-2x2+8x-6

(x-1)4

=0
即：-2x²+8x-6=0且x≠1
解得：x=3，x=1（舍）

f（x）最大值：f(3)=

1

2

f（x）最小值：比較f（2）=0，f（4）=

4

9

，所以最小值為f（2）=0；
（3）g（x）=x²-8ax-2a=（x-4a）²-16a²-2a
∵a≤

1

2

，x∈[2，4]．
∴g（x）_min=g（2）=4-18a，
g（x）_max=g（4）=16-34a，
∵對于任意的x₁∈[2，4]，總存在x₀∈[2，4]使得g（x₀）=f（x₁）成立，
∴

16-34a≥ 1 2 4-18a≤0

，解得

2

9

≤a≤

31

68

．
∴a的取值范圍是

2

9

≤a≤

31

68

．

點評：考查導數的幾何意義，和利用導數研究函數的極值、最值問題，特別是（3）的設問方式，增加了題目的難度，體現了轉化的思想方法，屬難題．