Question

已知函數，，

（1）若，求曲線在處的切線方程；

（2）若對任意的，都有恒成立，求的最小值；

（3）設，，若，為曲線的兩個不同點，滿足，且，使得曲線在處的切線與直線AB平行，求證：

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）1；（3）證明過程詳見解析

【解析】

試題分析：

第一問，當時，先求出的解析式，對求導，將代入到中得到切線的斜率，將代入到中得到切點的縱坐標，最后用點斜式寫出切線方程；第二問，本問是恒成立問題，先轉化成恒成立，即構造函數求函數的最小值大于等于0即可，對求導對參數a進行討論，分和，求導，利用導數求函數的最值，判斷是否符合題意；第三問，先利用已知條件求出解析式，求出直線AB的斜率，通過對求導，求出曲線在處的切線的斜率，由于兩直線平行，所以兩斜率相等，由于，所以在定義域內單調遞減，用分析法得欲證，需證明，通過變形得，即，構造新函數，通過求導判斷函數的單調性和最值，只需證明最小值大于0即可

試題解析：（1）,斜率,

所以，曲線在處的切線方程為 2分

(2) 恒成立恒成立

令，，，，

（ⅰ）若，則恒成立，∴函數在為單調遞增函數，

恒成立，又∵，∴符合條件

（ⅱ）若，由，可得，解得和（舍去）

當時，；當時，；

∴

恒成立矛盾

綜上，a的最小值為1 7分

（Ⅲ），

又∵，∴，∴

由，，易知其在定義域內為單調遞減函數

欲證證明

即，變形可得：

令，，原不等式等價于，等價于

構造函數，

則，，令，，

當時，，

∴在上為單調遞增函數，

∴在上為單調遞增函數，

∴，

∴在上恒成立

∴成立，∴得證

考點：1 利用導數研究函數的單調性；2 利用導數求函數的極值和最值