Question

設數列{a_n}的各項均為正數，前n項和為S_n，對于任意的n∈N₊，an，Sn，an2成等差數列，設數列{b_n}的前n項和為T_n，且bn=

lnnx

an2

，則對任意的實數x∈（1，e]（e是自然對數的底）和任意正整數n，T_n小于的最小正整數為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據題意，可得2S_n=a_n+a_n²①與2S_n-1=a_n-1+a_n-1²②成立，①-②得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²，可以化簡為a_n-a_n-1=1（n≥2），進而可得{a_n}是公差為1的等差數列，由對數的性質，分析可得對任意x∈（1，e]，有0＜lnx＜1，而a_n=n，則總有bn=

lnnx

an2

≤

1

n2

，用放縮法和裂項相消法，可得T_n的范圍，進而得到答案．

解答：解：根據題意，對于任意n∈N*，總有a_n，S_n，a_n²成等差數列，則對于n∈N^*，總有2S_n=a_n+a_n²①成立
∴2S_n-1=a_n-1+a_n-1²（n≥2）②
①-②得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²，即a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）；
∵a_n，a_n-1均為正數，
∴a_n-a_n-1=1（n≥2）
∴數列{a_n}是公差為1的等差數列，
又n=1時，2S₁=a₁+a₁²，解得a₁=1
∴a_n=n．（n∈N^*）
對任意實數x∈（1，e]，有0＜lnx＜1，
對于任意正整數n，總有bn=

lnnx

an2

≤

1

n2

，
∴Tn≤

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

=1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

(n-1)

-

1

n

=2-

1

n

＜2
對任意實數x∈（1，e]（e是常數，e=2.71828…）和任意正整數n，總有T_n＜2
故T_n小于的最小正整數為2
故選B

點評：本題考查數列與不等式，其中對于T_n范圍的解答，一般用放縮法，使用時，注意適當放縮，否則不會得到證明．