Question

已知等差數列{a_n}的公差為d，前n項和為S_n，等比數列{b_n}的前n項和為T_n，且{a_n}、{b_n}滿足條件：S₄=4a₃-2，T_n=2b_n-2．
（Ⅰ）求公差d的值；
（Ⅱ）若對任意的n∈N^*，都有S_n≥S₅成立，求a₁的取直范圍；
（Ⅲ）若a₁=-4，令c_n=a_nb_n，求數列{c_n}的前n項和V_n．

Answer 1

分析：（I）利用等差數列的通項公式和前n項和公式即可解出；
（II）利用等差前n項和公式化為（n-5）（2a₁+n+4）≥0．由于對任意的n∈N^*，都有S_n≥S₅成立，可得

n≥5 2a1+n+4≥0

且

1≤n＜5 2a1+n+4≤0

，解出即可．
（III）利用等差數列的通項公式即可得出a_n．利用n≥2時，b_n=T_n-T_n-1，n=1時b₁=T₁，及等比數列的通項公式即可得到b_n．利用“錯位相減法”即可得到V_n．

解答：解：（I）設等比數列{b_n}的公比為q，由S₄=4a₃-2，得4a1+

4×3

2

×d=4(a1+2d)-2，化為6d=8d-2，解得d=1．即公差d=1．
（II）由S_n≥S₅成立，得到na1+

n(n-1)

2

×1≥5a1+

5×4

2

×1，化為（n-5）（2a₁+n+4）≥0．
由于對任意的n∈N^*，都有S_n≥S₅成立，∴

n≥5 2a1+n+4≥0

且

1≤n＜5 2a1+n+4≤0

解得-

9

2

≤a1≤-4．
∴a1∈[-

9

2

，-4]．
（III）①當a₁=-4時，a_n=-4+（n-1）×1=n-5；
②當n=1時，b₁=T₁=2b₁-2，解得b₁=2；
當n≥2時，b_n=T_n-T_n-1=2b_n-2-（2b_n-1-2）=2b_n-2b_n-1，化為b_n=2b_n-1．
∴數列{b_n}是以2為首項，2為公比的等比數列，∴bn=2×2n-1=2n．
∴cn=(n-5)•2n．
∴Vn=-4×21-3×22-2×23-24+0+2⁶+2×2⁷+…+（n-5）•2ⁿ，
2Vn=-4×22-3×23-2×24-2⁵+2⁷+2⁸+…+（n-6）•2ⁿ+（n-5）•2ⁿ⁺¹．
兩式相減得-V_n=-8+2²+2³+…+2ⁿ+（5-n）•2ⁿ⁺¹=-10+

2×(2n-1)

2-1

+(5-n)•2n+1，
化為Vn=12+(n-6)•2n+1．

點評：數列掌握等差數列的通項公式和前n項和公式、分類討論的思想方法、利用n≥2時b_n=T_n-T_n-1及n=1時b₁=T₁、等比數列的通項公式、“錯位相減法”是解題的關鍵．