Question

已知函數f(x)=

x

a

+

a-1

x

（a≠0且a≠1）．
（Ⅰ）試就實數a的不同取值，寫出該函數的單調遞增區間；
（Ⅱ）已知當x＞0時，函數在(0，

6

)上單調遞減，在(

6

，+∞)上單調遞增，求a的值并寫出函數F(x)=

3

f(x)的解析式；
（Ⅲ）記（Ⅱ）中的函數F(x)=

3

f(x)的圖象為曲線C，試問是否存在經過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）對函數f（x）進行求導，令導函數大于0根據a的不同值求出x的范圍．
（2）令f'（

6

）=0求出a即可得到答案．
（3）假設存在且設直線方程y=kx，根據點的對稱求出直線斜率即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由題設知：f′(x)=

1

a

-

a-1

x2

=

x2-a(a-1)

ax2

．
①當a＜0時，函數f（x）的單調遞增區間為(-

a(a-1)

，0)(0，

a(a-1)

)；
②當0＜a＜1時，函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，0）及（0，+∞）；
③當a＞1時，函數f（x）的單調遞增區間為(-∞，-

a(a-1)

)及(

a(a-1)

，+∞)．
（Ⅱ）由題設及（Ⅰ）中③知

a(a-1)

=

6

且a＞1，解得a=3，
因此，函數解析式為F(x)=

3 x

3

+

2 3

x

（x≠0）．
（Ⅲ）假設存在經過原點的直線l為曲線C的對稱軸，顯然x、y軸不是曲線C的對稱軸，
故可設l：y=kx（k≠0），設P（p，q）為曲線C上的任意一點，P'（p'，q'）與P（p，q）關于直線l對稱，且p≠p'，q≠q'，
則P'也在曲線C上，由此得

q+q′

2

=k

p+p′

2

，

q-q′

p-p′

=-

1

k

，且q=

p

3

+

2 3

p

，q′=

p′

3

+

2 3

p′

，
整理得k-

1

k

=

2

3

，解得k=

3

或k=-

3

3

，
所以存在直線y=

3

x及y=-

3

3

x為曲線C的對稱軸．

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負的關系，即導函數大于0時原函數單調遞增，導函數小于0時原函數單調遞減．