Question

已知△P₁OP₂的面積為

27

4

，P為線段P₁P₂的一個三等分點，求以直線OP₁，OP₂為漸近線且過點P而離心率為

13

2

的雙曲線方程．

Answer 1

考點：雙曲線的標準方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由雙曲線的離心率，結合a²+b²=c²得到a，b的關系，從而求出雙曲線的漸近線方程，進一步求出兩漸近線夾角的正弦值，由△P₁OP₂的面積為

27

4

，列式得到P₁、P₂點的橫坐標x₁、x₂之間的關系；設出雙曲線上一點P，由P為線段P₁P₂的一個三等分點，得到P的坐標與P₁、P₂點的坐標的關系，結合求出的x₁、x₂之間的關系，得到P的橫、縱坐標的關系，即雙曲線的方程．

解答： 解：設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
由已知得

c

a

=

13

2

，
∴

c2

a2

=

13

4

，即

a2+b2

a2

=

13

4

，∴

b2

a2

=

9

4

，
∴漸近線方程為y=±

3

2

x，
則P₁（x₁，

3

2

x₁），P₂（x₂，-

3

2

x₂），
設漸近線y=

3

2

x的傾斜角為θ，則tanθ=

3

2

，
∴sin2θ=2sinθcosθ=

2sinθcosθ

sin2θ+cos2θ

=

2tanθ

1+tan2θ

=

2× 3 2

1+ 9 4

=

12

13

，
由于△P₁OP₂的面積為S=

27

4

=

1

2

|OP₁||OP₂|sin2θ
=

1

2

x12+ 9 4 x12

•

x22+ 9 4 x22

•

12

13

，
∴x₁•x₂=

9

2

，
不妨設P分

P1P2

所成的比為λ=2，雙曲線上點P（x，y），則
x=

x1+2x2

3

，y=

y1+2y2

3

=

x1-2x2

2

．
∴x₁+2x₂=3x，x₁-2x₂=2y．
∴（3x）²-（2y）²=（x₁+2x₂）2-（x₁-2x₂）2=8x₁x₂=36，
∴

x2

4

-

y2

9

=1．即為雙曲線E的方程．

點評：本題考查了雙曲線的標準方程，考查了直線和圓錐曲線的關系，運用△P₁OP₂的面積找關系式，其中涉及到利用切函數表示倍角的弦函數，學生思維有一定難度，同時考查定比分點公式，尋找P點坐標滿足的條件思維跨度較大．