Question

【題目】已知M,N是焦點為F的拋物線y2=2px(p>0)上兩個不同的點,線段MN的中點A的橫坐標為.

(1)求|MF|+|NF|的值;

(2)若p=2,直線MN與x軸交于點B,求點B的橫坐標的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）8；（2）

【解析】

(1)根據中點坐標公式可得，利用拋物線的定義,求的值；(2)分類討論，設，利用點差法求出直線的斜率，可求點橫坐標為，再利用判別式求得，從而可得點橫坐標的取值范圍.

(1)設M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=8-p,而|MF|=x1+,|NF|=x2+,

∴|MF|+|NF|=x1+x2+p=8.

(2)當p=2時,拋物線方程為y2=4x.

①若直線MN的斜率不存在,則B(3,0).

②若直線MN的斜率存在,設A(3,t)(t≠0),

則由(1)知整理得-=4(x1-x2),∴(y1+y2)=4,即kMN=,

∴直線MN:y-t=(x-3),∴B點的橫坐標為3-,

由消去x得y2-2ty+2t2-12=0,由Δ>0得0<t2<12,∴3-∈(-3,3).

綜上,點B的橫坐標的取值范圍為(-3,3].