Question

【題目】．

（1）證明：存在唯一實數，使得直線和曲線相切；

（2）若不等式有且只有兩個整數解，求的范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：(1)先設切點坐標，根據導數幾何意義得切線斜率，根據切點既在切線上也在曲線上，聯立方程組可得．再利用導數研究 單調性，并根據零點存在定理確定零點唯一性，即得證結論，(2)先化簡不等式為，再分析函數單調性及其值域，結合圖形確定討論a的取法，根據整數解個數確定a滿足條件，解得的范圍．

試題解析：

（1）設切點為，則 ①，

和相切，則 ②，

所以，

即．令，所以單增．又因為，所以，存在唯一實數，使得，且．所以只存在唯一實數，使①②成立，即存在唯一實數使得和相切．

（2）令，即，所以，

令，則，由（1）可知，在上單減，在單增，且，故當時，，當時，，

當時，因為要求整數解，所以在時，，所以有無窮多整數解，舍去；

當時，，又，所以兩個整數解為0，1，即，

所以，即，

當時，，因為在內大于或等于1，

所以無整數解，舍去，綜上，．