Question

【題目】如圖，在四棱錐中，側面底面，為正三角形，，，點，分別為線段、的中點，、分別為線段、上一點，且，.

（1）確定點的位置，使得平面；

（2）試問：直線上是否存在一點，使得平面與平面所成銳二面角的大小為，若存在，求的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析 （2）存在點，且

【解析】（1）為線段的靠近的三等分點.

在線段上取一點，使得，因為，∴，因為為中點，∴，當為線段靠近的三等分點時，即，，又易知，∴.又，所以平面平面，因為平面，所以平面.

（2）取中點，連接，因為為正三角形，所以，又側面底面，所以底面，以所在直線為軸，的中垂線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，設，則，，設平面的法向量為，則，即，令，得平面的一個法向量為，易得平面的一個法向量為，所以，解得，故存在點，且.