Question

已知函數f（x）=ax²+2ln（2-x）（a∈R），設曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線為l，若l與圓C：x2+y2=

1

4

相切，求a的值．

Answer 1

分析：利用導數的幾何意義求出x=1處的切線的斜率，利用點斜式求出切線方程，最后根據圓心到直線的距離等于半徑，建立方程，解之即可．

解答：解：依題意有：f(1)=a，f′(x)=2ax+

2

x-2

(x＜2)，
∴l的方程為2（a-1）x-y+2-a=0，
∵l與圓相切，
∴

|2-a|

4(a-1)2+1

=

1

2

?a=

11

8

，
∴a的值為

11

8

．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及圓的切線方程等基礎題知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想，屬于基礎題．