Question

已知圓的方程為x²+y²-6x-8y=0．設該圓過點（3，5）的兩條弦分別為AC和BD，且AC⊥BD．則四邊形ABCD的面積最大值為（　�。�

• A．20

  6

• B．30

  6

• C．49
• D．50

Answer 1

分析：設兩個圓心到直線的距離分別為a，b，可得a²+b²=1，根據S=

1

2

|AC|BD|=

1

2

×2

25-a2

×2

25-b2

，利用基本不等式，即可求得四邊形ABCD的面積最大值．

解答：解：設兩個圓心到直線的距離分別為a，b，則
∵x²+y²-6x-8y=0的圓心坐標為（3，4），半徑為5，該圓過點（3，5）的兩條弦分別為AC和BD，且AC⊥BD
∴a²+b²=1，
∴S=

1

2

|AC|BD|=

1

2

×2

25-a2

×2

25-b2

=2

25-a2

×

25-b2

≤25-a²+25-b²=49，
當且僅當a=b=

2

2

時，四邊形ABCD的面積最大值為49
故選C．

點評：本題考查四邊形的面積，考查圓的性質，考查基本不等式的運用，正確表示四邊形的面積是關鍵．