Question

【題目】已知函數．

（1）若在處的切線平行于軸，求的值和的極值；

（2）若過點可作曲線的三條切線，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），2，-2；（Ⅱ）

【解析】

試題（Ⅰ）求出原函數的導函數，由f（x）在x=1處的切線平行于x軸，可得f′（1）=0，由此求a的值，把a值代入導函數，求得導函數的零點，由導函數的零點對函數定義域分段，列表得到單調區間，則f（x）的極值可求；（Ⅱ）設出切點（t，t3+at），求導數，利用直線方程點斜式得到切線方程，代入A的坐標，化為關于t的方程，再利用導數求出關于t的函數的極值，由極大值大于0，且極小值小于0聯立不等式組求得a的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）,

∵在處的切線平行于軸, ∴,即．

∴．令,得．

				1
	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴,．

（Ⅱ）設切點為,則切線斜率為,

∴切線方程為, ∵點在切線上,

∴, 即． （*）

于是, 若過點A可作曲線的三條切線, 則方程（*）有三個相異的實根根．

記, 則．

當時,,是增函數,

當時,,是減函數,

當時,,是增函數,

∴．

要使方程（*）有三個相異實根, 則即．