Question

已知數列的前n項和（n為正整數）。

（Ⅰ）令，求證數列是等差數列，并求數列的通項公式；

（Ⅱ）令，試比較與的大小，并予以證明。

 

Answer 1

【答案】

(1) 數列是首項和公差均為1的等差數列,  

(2) 當,當時

【解析】

試題分析：(I)在中,令n=1,可得,即

當時,,

.

 

又數列是首項和公差均為1的等差數列.

于是.

(II)由(I)得,所以

由①-②得

于是確定的大小關系等價于比較的大小由           可猜想當證明如下:

證法1:(1)當n=3時,由上驗算顯示成立。

(2)假設時

所以當時猜想也成立

綜合(1)(2)可知 ,對一切的正整數,都有

證法2:當時

綜上所述,當,當時

考點：數列的通項公式和求和，數學歸納法

點評：解決該試題的關鍵是能熟練的結合通項公式與前n項和的關系來得到通項公式，并運用數學歸納法來證明。屬于中檔題。