Question

【題目】已知雙曲線C1： =1，雙曲線C2： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1 ， F2 ， M 是雙曲線C2 一條漸近線上的點，且OM⊥MF2 ， 若△OMF2的面積為 16，且雙曲線C1 ， C2的離心率相同，則雙曲線C2的實軸長為（ ）
A.4
B.8
C.16
D.32

Answer 1

【答案】C
【解析】解：雙曲線C1： =1的離心率為e= = = = ， 設F2（c，0），雙曲線C2一條漸近線方程為y= x，
可得|F2M|= = =b，
即有|OM|= =a，
由△OMF2的面積為16，可得 ab=16，
即ab=32，又a2+b2=c2 ， 且 = ，
解得a=8，b=4，c=4 ，
即有雙曲線的實軸長為16．
故選：C．
求得雙曲線C1的離心率，求得雙曲線C2一條漸近線方程為y= x，運用點到直線的距離公式，結合勾股定理和三角形的面積公式，化簡整理解方程可得a=8，進而得到雙曲線的實軸長．