Question

如圖，已知點D（0，－2），過點D作拋物線：的切線l,切點A在第二象限。

（1）求切點A的縱坐標；
（2）若離心率為的橢圓恰好經過A點，設切線l交橢圓的另一點為B，若設切線l,直線OA，OB的斜率為k,,①試用斜率k表示②當取得最大值時求此時橢圓的方程。

Answer 1

（1）2，（2）①，②

試題分析：（1）設切點A，則，再利用導數的幾何意義得在切點A的導數值為切線的斜率，即，而，所以（2）①要求函數關系式，一要確定自變量k的取值范圍，這可由切線l斜率及得到.二是建立與k的等量關系，這是一個復雜消參的過程.先設，則.在使用韋達定理之前先要做一個工作，就是將橢圓方程用k表示.因為，代入橢圓方程得，而，所以，，因此橢圓方程為，到此再利用韋達定理可解得，② 利用函數為單調增函數，得當k= 1時，取到最大值，此時P＝4，故橢圓的方程為.
試題解析：解：（1）設切點A，依題意則有
解得，即A點的縱坐標為2                        3分
（2）依題意可設橢圓的方程為，直線AB方程為：；由得①
由（1）可得A，將A代入①可得，
故橢圓的方程可簡化為；           5分
聯立直線AB與橢圓的方程：消去Y得：，則            8分
又∵,∴k∈［－2，－1］；即……9分
②由可知上為單調遞增函數，故當k= 1時，取到最大值，此時P＝4，故橢圓的方程為…12分