Question

【題目】如圖1，在中，，，，、分別是、上的點，且，將沿折起到的位置，使，如圖2.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）當長為多少時，異面直線，所成的角最小，并求出此時所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）當時，異面直線，所成的角最小，此時所成角的余弦值為

【解析】

（Ⅰ）根據線線垂直線面垂直（Ⅱ）利用垂直關系寫出函數關系，求函數的最小值，最后結合余弦函數的單調性可求得。

解：（Ⅰ）證明：因為平面，

又平面，所以，

平面；

（Ⅱ）如圖，連結，并設，，，

由（Ⅰ）中平面，所以有，從而在中，

，

又在中，，

顯然，當時，，

即（或是為中點）時，線段的長度有最小值，最小值是.

又因為，且，則即為異面直線，所成的角，

又在中，.結合余弦函數在銳角范圍上是單調遞減函數，所以當取最大時，取最小.

綜上，當時，異面直線，所成的角最小，此時所成角的余弦值為.