Question

已知f(x)=

1+lnx

x

（e是自然對數的底數，e≈2.71828）
（1）求f（x）的極大值；
（2）若x₁，x₂是區間[

1

e

，e]上的任意兩個實數，求證：|f（x₁）-f（x₂）|≤1．

Answer 1

分析：（1）求導函數，令導數大于0或小于0，由此能得到函數f（x）的單調區間，進而得到函數的極大值；
（2）由（1）可知函數的單調區間，即可得到函數區間[

1

e

，e]上的單調性，進而得到函數在區間[

1

e

，e]上的最值，即得證．

解答：（1）解：∵f(x)=

1+lnx

x

（x＞0），
∴f'（x）=

1 x •x-(1+lnx)

x2

=-

lnx

x2

，
令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1，
故f（x）在區間（0，1）上為增函數，在區間（1，+∞）上為減函數，
即函數在x=1時取得極大值，且極大值為1；
（2）證明：由（1）知，f（x）在區間（0，1）上為增函數，
在區間（1，+∞）上為減函數，
故函數在區間[

1

e

，1)上為增函數，在（1，e]上為減函數，
又f(

1

e

)=

1+ln 1 e

1 e

=0，f(e)=

1+lne

e

=

2

e

，f(1)=

1+ln1

1

=1
∴f（x）_max=f（1）=1，f（x）_min=f（

1

e

）=0
∴對于區間[-1，1]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，
都有|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min=1-0=1，
即|f（x₁）-f（x₂）|≤1．

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數的最值的應用，具體涉及到函數解析式的求法和不等式的證明，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．解題時要認真審題，仔細解答．