Question

已知函數(shù)．

（1）求在上的最大值；

（2）若直線為曲線的切線，求實數(shù)的值；

（3）當時，設(shè)，且，若不等式恒成立，求實數(shù)的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）或． （3）的最小值為．

【解析】

試題分析：

（1）利用導(dǎo)數(shù)可以求解函數(shù)單調(diào)性得到極值與最值,但是函數(shù)含有參數(shù),故而需要討論,首先對函數(shù)求定義域，求導(dǎo)可以發(fā)現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)的分母恒大于0不影響導(dǎo)函數(shù)符號,故考慮分子大于0,小于0的解集,討論a的范圍得到區(qū)間的單調(diào)性,分析就可以得到原函數(shù)在固定區(qū)間上的最值.

（2）設(shè)出切點坐標,利用切點滿足的三個條件（①切點在原函數(shù)上，坐標滿足原函數(shù)方程 ②切點在切線上，坐標滿足切線方程 ③原函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)為切線的斜率）建立關(guān)于a的方程，解方程求出a的值.

（3）由（2）的結(jié)論得到此時直線為曲線的切線,且分析原函數(shù)與切線的圖像可以發(fā)現(xiàn)曲線在直線下方,即可以發(fā)現(xiàn)在區(qū)間上不等式恒成立,作差即可嚴格證明該不等式是成立的.利用該不等式對放縮為可求和的式子,進而求的的最值,得到的取值范圍與最值.

試題解析：

（1）， 2分

令，解得（負值舍去），

由，解得．

（ⅰ）當時，由，得，

在上的最大值為． 3分

（ⅱ）當時，由，得，

在上的最大值為． 4分

（ⅲ）當時，在時，，在時，，

在上的最大值為． 5分

（2）設(shè)切點為，則 6分

由，有，化簡得，

即或， ①

由，有，②

由①、②解得或． 9分

（3）當時，，

由（2）的結(jié)論直線為曲線的切線，

，點在直線上，

根據(jù)圖像分析，曲線在直線下方． 10分

下面給出證明：當時，．

，

當時，，即． 12分

，

， ．

要使不等式恒成立，必須． 13分

又當時，滿足條件，

且，

因此，的最小值為． 14分

考點：函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)運算法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用、不等式的求解與證明、恒成立問題