Question

（本小題12分）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E是MN的中點。

（1）求證：平面AEC⊥平面AMN；   （6分）
（2）求二面角M－AC－N的余弦值。  （6分）

Answer 1

（1）略
（2）

方法一、傳統幾何
（1）MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ANCD，由直角三角形易得：AM=AN=MN=NC=MC=，E是MN中點，可得AE⊥MN，CE⊥MN，又AE∩EC=E從而MN⊥平面AEC；
（2）這里也有多種方法：
連接BD交AC與點O，底面是正方形得AC⊥BD，OE//MD推得OE⊥AC，得AC⊥平面MDBN，所以∠MON就是二面角M－AC－N的平面角，在矩形MDBN中根據長度可以求得cos∠MON=。

（亦可把二面角M－AC－N，拆成兩個二面角M－AC－E和E－AC－N；或者抽取出正四面體MNAC，再求側面與地面所成角；或者求平面ACN的垂線MB和平面ACM的垂線DN之間的夾角）
方法二、向量幾何
MD⊥平面ABCDMD⊥DA，MD⊥DC，又底面ABCD為正方形DA⊥DC，故以點D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，DM為z軸，如圖建立空間直角坐標系。
則各點的坐標A（1，0,0），B（1,1,0），C（0，1,0），M（0,0,1），N（1,1,1），
E（，，1）                            ……3分
（1） ·=…=0MN⊥AE；
·=…=0MN⊥AC
又AC∩AE=E，故MN⊥平面AEC；      ………7分
（2）不妨設平面AMC的法向量為=（1，y，z），平面ANC的法向量為=（1，m，n） 則由⊥,⊥·=0,·=0,代入坐標解得=（1,1,1）---9分
由⊥,⊥·=0,·=0,代入坐標運算得=（1,1，－1）--11分
Cos<,>==                             -------12分