Question

A、B是橢圓3x²+y²=λ上的兩點，點N(1，3)是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓交于C、D兩點.

(1)確定橢圓的長軸的范圍，并求AB的方程；

(2)是否存在這樣的實數λ，使得以AB為直徑的圓恰好經過原點？如果有，求出λ，如不存在，請說明理由.

Answer 1

解：(1)設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),∵A、B兩點在橢圓上,

∴3x₁²+y₁²=λ，①

3x₂²+y₂²=λ，②

兩式相減得3(x₁-x₂)(x₁+x₂)+(y₁+y₂)(y₁-y₂)=0.

∵N（1，3）為AB的中點，∴x₁+x₂=2,y₁+y₂=6,得k_AB==-1,

這時AB的方程為：y=-x+4.                                                    

聯立4x²-8x+16-λ=0.

∴Δ=8²-4×4×(16-λ)＞0,∴λ＞12,∴長軸2a=.                           

另解：∵AB與橢圓有兩個公共點，且N為AB中點，∴N(1，3)必須在橢圓的內部,

∴3+3²＜λ,∴λ＞12.

(2)設滿足條件的λ存在,

由(1)得4x²-8x-λ+16=0得x₁+x₂=2,x₁·x₂=,

∴y₁·y₂=x₁x₂-4(x₁+x₂)+16,由題意知=0.

即x₁·x₂+y₁·y₂=0,∴x₁x₂-2(x₁+x₂)+8=0.

∴-4+8=0,得λ=32＞12,∴存在λ=32滿足題設要求.

另解：聯立分別消去x、y,

得4x²-8x-λ+16=0,①

4y²-24y+48-λ=0,②

①+②得2x²+2y²-4x-12y+32-λ=0.

即為以AB為直徑的圓的方程.∵圓過原點,∴λ=32為所求.