Question

如圖，在平面直角坐標系中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．
（I）若A，B兩點的縱會標分別為的值；
（II）已知點C是單位圓上的一點，且的夾角θ．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據三角函數的定義，求得sinα=，sinβ=．由α是銳角、β為鈍角可得cosα、cosβ的值，利用兩角和與差的余弦公式求得cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα的值．
（II）由題意可得，設 的夾角為θ，0≤θ≤π，則有 =．求出 的值，再利用兩個向量的夾角公式求出cosθ，可得θ的值．
解答：解：（I）根據三角函數的定義，得sinα=，sinβ=．由α是銳角，所以，cosα=．
由β為鈍角可得 cosβ=-．
所以，cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα=（-）×+=．
（II）已知點C是單位圓上的一點，且 ，，
設 的夾角為θ，0≤θ≤π，則有 =．
展開化簡可得 =-．
可得cosθ===-，從而可得 θ=．
點評：本題主要考查任意角的三角函數的定義，平面向量數量積的定義，同角三角函數基本關系的運用，兩角和與差的余弦函數，考查計算能力，是中檔題．