Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 且滿足an+Sn=2．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）求證數列{an}中不存在三項按原來順序成等差數列．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=1時，a1+S1=2a1=2，則a1=1．

又an+Sn=2，所以an+1+Sn+1=2，兩式相減得an+1= an，

所以{an}是首項為1，公比為 的等比數列，

所以an=

（2）證明：假設存在三項按原來順序成等差數列，記為ap+1，aq+1，ar+1（p＜q＜r，且p，q，r∈N*），則2 = + ，所以22r﹣q=2r﹣p+1．①

又因為p＜q＜r，所以r﹣q，r﹣p∈N*．

所以①式左邊是偶數，右邊是奇數，等式不成立，所以假設不成立，原命題得證

【解析】（1）由條件，再寫一式，兩式相減，可得{an}是首項為1，公比為 的等比數列，從而可求數列{an}的通項公式；（2）利用反證法，假設存在三項按原來順序成等差數列，從而引出矛盾，即可得到結論．
【考點精析】利用等差關系的確定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數列就叫做等差數列．