Question

已知函數f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R）在點（1，f（1））處的切線方程為y+2=0．
（I）求函數f（x）的解析式；
（II）若經過點M（2，m）可以作出曲線y=f（x）的三條切線，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）欲確定函數的表達式，先求導數fˊ（x），再根據導數的幾何意義求出切線的斜率，最后由函數圖象過點（1，-2）及斜率列出方程求出a，b，即可求函數f（x）的解析式；
（II）先設切點為（x₀，y₀），根據導數的幾何是切線的斜率，列出關于（x₀，的一個方程，然后根據此方程必須有三個不同的實數解，結合相應函數有三個不同的零點，最后利用函數的極值點列出不等關系即可求實數m的取值范圍．

解答：解：（I）f'（x）=3ax²+2bx-3．（2分）
根據題意，得

f(1)=-2 f′(1)=0

即

a+b-3=-2 3a+2b-3=0

解得

a=1 b=0

所以f（x）=x³-3x．（4分）
（II）設切點為（x₀，y₀），則y₀=x₀³-3x₀，f'（x₀）=3x₀²-3，切線的斜率為3x₀²-3
則3x₀²-3=

x 3 0 -3x0-m

x0-2

，即2x₀³-6x₀²+6+m=0．（6分）
∵過點M（2，m）（m≠2）可作曲線y=f（x）的三條切線，
∴方程2x₀³-6x₀²+6+m=0有三個不同的實數解，（8分）
∴函數g（x）=2x³-6x²+6+m有三個不同的零點，
∴g（x）的極大值為正、極小值為負（10分）
則g'（x）=6x²-12x．令g'（x）=0，則x=0或x=2，列表：

由

6+m＞0 -2+m＜0

，解得實數m的取值范圍是-6＜m＜2．（12分）

點評：本小題主要考查利用導數研究曲線上某點切線方程、利用導數研究函數的極值、函數的零點、直線的方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．