Question

【題目】已知函數.

（1）若，解不等式；

（2）是否存在實數，使不等式對一切實數恒成立？若存在，求出的取值范圍，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，滿足題意，詳見解析

【解析】

（1）分別在和兩種情況下去掉絕對值符號得到不等式，解不等式求得解集；（2）當時，可驗證恒成立，則；當時，將不等式變為，由于，可知不等式恒成立，得到；當時，將不等式轉化為，通過分離變量的方式得到與函數和的大小關系，通過求解函數最值得到；將三種情況取交集得到最終結果.

（1）當時，

當時，等價于，解集為

當時，等價于，解得：

綜上所述：不等式的解集為：

（2）等價于

當時，不等式為：，恒成立

當時，不等式為：

恒成立且

又

當時，不等式為：

即

且

令

當時，

（當且僅當時取等號）

令

當時，

則當時，

綜上所述：當時，對恒成立