Question

已知數列{a_n}的首項為1，（n∈N₊）．
（1）若{a_n}為常數列，求f（4）的值；
（2）若{a_n}為公比為2的等比數列，求f（n）的解析式；
（3）數列{a_n}能否成等差數列，使得f（n）-1=（n-1）2ⁿ對一切n∈N₊都成立．若能，求出數列{a_n}的通項公式；若不能，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據{a_n}為常數列，且首項為1，可得它的通項公式．
（2）若{a_n}為公比為2的等比數列，則a_n=2^n-1，（n∈N₊），用二項式定理以及倒序相加法求得f（n）的解析式．
（3）假設數列{a_n}能否成等差數列，使得f（n）-1=（n-1）2ⁿ對一切n∈N₊都成立，設公差為d，用倒序相加法求得f（n）的解析式為 1+（n-1）2ⁿ ，可得（d-2）+[2+（n-2）d]•2^n-1=0 n∈N₊都成立，可得d=2，從而求得數列{a_n}的通項公式．
解答：解：（1）∵{a_n}為常數列，且首項為1，故有a_n=1，
∴f（4）=+++=15．
（2）若{a_n}為公比為2的等比數列，則a_n=2^n-1，（n∈N₊）．
=，
故1+2f（n）=1+=（1+2）ⁿ=3ⁿ，
∴f（n）=．
（3）假設數列{a_n}能否成等差數列，使得f（n）-1=（n-1）2ⁿ對一切n∈N₊都成立．
設公差為d，則  ①，
且   ②，
把①、②相加可得 2f（n）=2a_n+（a₁+a_n-1）（+++…+）
∴f（n）=a_n+（+++…+） 
=a_n+（2ⁿ-2）=1+（n-1）d+[2+（n-2）d]（2^n-1-1）．
∴f（n）-1=（d-2）+[2+（n-2）d]]•2^n-1=（n-1）2ⁿ 恒成立．
即 （d-2）+（d-2）•[n+2]•2^n-1=0 n∈N₊都成立，∴d=2，
故存在數列{a_n}使得f（n）-1=（n-1）2ⁿ對一切n∈N₊都成立，且通項公式為a_n=2n-1．（其它方法相應給分）
點評：本題主要考查二項式定理的應用，等差關系的確定，等差數列的通項公式，屬于中檔題．