Question

若二次函數f（x）=ax²+bx+1（a，b為實數且x∈R）．
（1）若函數f（x）為偶函數，且滿足f（x）=2x有兩個相等實根，求a，b的值；
（2）若f（-1）=0，且函數f（x）的值域為[0，+∞），求函數f（x）的表達式；
（3）在（2）的條件下，當x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調函數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數f（x）為偶函數，求出b，利用f（x）=2x有兩個相等實根，△=0，求出a，即可得到a，b的值；
（2）若f（-1）=0，推出a，b的一個關系式，利用函數f（x）的值域為[0，+∞），得到a，b，的關系式，然后求a，b，得到函數f（x）的表達式；
（3）通過（2）的條件，當x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調函數，利用二次函數的對稱軸，求實數k的取值范圍．

解答：解：（1）因為函數是偶函數，所以b=0，
因為f（x）=2x有兩個相等實根，
即ax²+1=2x．有△=0，
所以a=1．
（2）∵f（-1）=0，∴a-b+1=0，
又x∈R，f（x）≥0恒成立．
∴

a＞0 △=b2-4a≤0

，
∴b²-4（b-1）≤0，
∴b=2，a=1，
∴f（x）=x²+2x+1．
（3）g（x）=f（x）-kx
=x²+2x+1-kx=x²+（2-k）x+1
=（x+

2-k

2

）²+1-

(2-x)2

4

，
當

2-k

2

≥2或

2-k

2

≤-2時，
即k≥6或k≤-2時，g（x）是單調函數．

點評：本題考查一元二次方程的根的分布與系數的關系，函數奇偶性的性質，二次函數的性質的應用，考查計算能力．