Question

（文）已知半徑為5的圓的圓心在軸上，圓心的橫坐標是整數，且與直線 相切．
（1）求圓的標準方程；
（2）設直線與圓相交于兩點，求實數的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，是否存在實數，使得弦的垂直平分線過點，

Answer 1

（1）；（2）；（3）

試題分析：（1）由圓心在軸，可設圓心為，又直線與圓相切，∴圓心到直線的距離，列式求，則圓的標準方程可求；（2）因為直線與圓相交于兩點，則，解不等式可求實數的取值范圍；（3）首先根據垂直關系得，又直線過點，根據直線的點斜式方程寫出的方程為，由垂徑定理可知，弦的垂直平分線必過圓心，將圓心代入，可求的值，再檢驗直線是否圓相交于兩點.
試題解析：(1）設圓心為（m∈Z）,由于圓與直線4x+3y-29=0相切，且半徑為5，∴即|4m-29|=25,即4m-29=25或4m-29=-25，解得,或，因為m為整數，故m=1，故所求的圓的方程是；
（2) 此時，圓心C(1, 0)與該直線的距離，
，即：；
（3）設符合條件的實數a存在，∵a≠0，則直線的斜率為，的方程為，即，由于直線垂直平分弦AB，故圓心M（1，0）必在，所以1+0+2-4a=0，解得，
經檢驗，直線ax-y+5=0與圓有兩個交點，故存在實數，使得過點P（-2，4）的直線垂直平分弦AB.