Question

已知函數.
(Ⅰ)若時，求的值域；
(Ⅱ)若存在實數，當時，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（I）的值域為：.（II）.

試題分析：（I）將二次函數配方，結合拋物線的圖象便可得的值域.
（II）由恒成立得：恒成立，
令，則只需的最大值小于等于0.
由此得：，令
則原題可轉化為：存在，使得.這又需要時.接下來又對二次函數分情況討論，從而求出實數的取值范圍.
試題解析：（I）將二次函數配方得：  2分
該函數的圖象是一條開口向上的拋物線，頂點為，.
因為，所以最大值為，
∴的值域為：              6分
（II）由恒成立得：恒成立，
令，因為拋物線的開口向上，所以，由恒成立知：                8分
化簡得：  令
則原題可轉化為：存在，使得  即：當，  10分
∵，的對稱軸： 
 即：時，
∴解得：   
②當 即：時，
∴解得：
綜上：的取值范圍為：                13分
法二：也可，
化簡得： 有解.
，則.