Question

（2013•棗莊二模）已知函數f(x)=x2-

ln|x|

x

，則函數y=f（x）的大致圖象為（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：寫出分段函數，分段求導后利用導函數的符號或導函數的零點判斷函數f（x）的圖象的形狀．

解答：解：f(x)=x2-

ln|x|

x

=

x2- lnx x ，x＞0 x2- ln(-x) x ，x＜0

，
當x＜0時，f′(x)=2x-

1-ln(-x)

x2

=

2x3-1+ln(-x)

x2

．
令g（x）=2x³-1+ln（-x），
由g′(x)=6x2+

1

x

=

6x3+1

x

=0，得x=-

3	1 6

，
當x∈（-∞，-

3	1 6

）時，g^′（x）＞0，當x∈（-

3	1 6

，0）時，g^′（x）＜0．
所以g（x）有極大值為g(-

3	1 6

)=2×(-

3	1 6

)3-1+ln

3	1 6

=-

4

3

-

1

3

ln6＜0．
又x²＞0，所以f^′（x）的極大值小于0．
所以函數f（x）在（-∞，0）上為減函數．
當x＞0時，f′(x)=2x-

1-lnx

x2

=

2x3-1+lnx

x2

．
令h（x）=2x³-1+lnx，h′(x)=6x2+

1

x

＞0．
所以h（x）在（0，+∞）上為增函數，而h（1）=1＞0，h（

1

2

）=-

3

4

-ln2＜0．
又x²＞0，所以函數f^′（x）在（0，+∞）上有一個零點，則原函數有一個極值點．
綜上函數f（x）的圖象為B中的形狀．
故選B．

點評：本題考查了對數函數的圖象和性質，考查了利用導函數的符號判斷原函數的單調性，考查了分類討論的數學思想方法，是中檔題．