Question

已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，且AB=2，AD=3，CD=1，點E、F分別在AD、BC上，滿足AE=

1

3

AD，BF=

1

3

BC．現將此梯形沿EF折疊成如圖所示圖形，且使AD=

3

．
（1）求證：AE⊥平面ABCD；
（2）求二面角D-CE-A的大小．

Answer 1

分析：（1）欲證AE⊥平面ABCD，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證AE與平面ABCD內兩相交直線垂直，而EA⊥AD，EA⊥AB，AB∩AD=A，滿足定理條件
（2）由圖，可以A為原點，建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，由向量運算求出兩個平面的法向量，再由數量積公式求出兩個平面的夾角的余弦值．

解答：解：（1）折疊后由已知：AE=

1

3

AD=1，DE=2，AD=

3

，∴AE²+AD²=DE²，即：AE⊥AD，又AE⊥AB，AD∩AB=A，∴AE⊥平面ABCD
（2）（Ⅱ）解：以點A為坐標原點，建立如圖空間直角坐標系，
則A(0，0，0)，C(

3

，1，0)，E(0，0，1)，D(

3

， 0，0)，

DC

=（0，1，0），

DE

=（-

3

，0，1）
設平面DCE的一個法向量為

m

=（x，y，z），則

m • DC =y=0 m • DE =- 3 x+z=0

取x=1則得出

m

=（1，0，

3

）
設平面CEA的一個法向量為

n

=（x′，y′，z′）

AC

=(

3

， 1，0)，

AE

=（0，0，1）

n • AC = 3 x′+y′=0 n • AE =z′=0

取x=1，則得

n

=（1，-

3

，0）
故cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

2×2

=

1

4

，
所以二面角D-CE-A的大小arccos

1

4

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，用空間向量求二面角的夾角．考查考查空間想象、推理論證、計算能力．利用向量求解決立體幾何問題是近幾年高考的熱點，向量法解決立體幾何問題降低了思維難度，化推理為計算，使得幾何求解、證明變得簡單，此法也有不足，需要建立坐標系，且運算量較大．