Question

（2012•江西模擬）在各項均為正數的等比數列{a_n}中，(a1+a3)(a5+a7)=4

a

2 4

，則下列結論中正確的是（　　）

A．數列{a_n}是遞增數列

B．數列{a_n}是遞減數列

C．數列{a_n}是常數列

D．數列{a_n}有可能是遞增數列也有可能是遞減數列

Answer 1

分析：由條件利用等比數列的定義和性質可得 a32+a52=2 a42，設公比為q，則得 a12q⁴+a12q⁸=2a12q⁶，求得 q²=1，q=1，由此得出結論．

解答：解：各項均為正數的等比數列{a_n}中，∵(a1+a3)(a5+a7)=4

a

2 4

 成立，即 a₁a₅+a₁a₇+a₃a₅+a₃a₇=4a42成立．
利用等比數列的定義和性質化簡可得 a32+a42+a42+a52=4a42，進一步化簡得 a32+a52=2 a42．
設公比為q，則得 a12q⁴+a12q⁸=2a12q⁶，化簡可得 1+q⁴=2q²，即 （q²-1）²=1，
∴q²=1，故q=1．（由于各項均為正數的等比數列，故q=-1舍去）
故此等比數列是常數列，
故選 C．

點評：本題主要考查等比數列的定義和性質，求得 q²=1，是解題的關鍵，屬于中檔題．