Question

【題目】已知函數

（1）求的單調區間；

（2）過點存在幾條直線與曲線相切，并說明理由；

（3）若對任意恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）增區間為，，單調減區間為；（2）三條切線，理由見解析；（3）

【解析】

（1）對求導，分別令，，得到的單調區間；

（2）設切點坐標為，利用導數得切線斜率，表示出切線方程，代入過點，得到的方程，解出的值，從而得到結論；

（3）設，分為，，進行討論，易得，時的情況，當時，易得時成立，時，令，利用導數，得到，從而得到的范圍.

（1），

得，或；

得，；

所以的單調增區間為，；單調減區間為；

（2）過點可做的三條切線；理由如下：

設切點坐標為，

所以切線斜率

所以過切點的切線方程為：，

切線過點，代入得，

化簡得，

方程有三個解，，，，即三個切點橫坐標，

所以過點可做的三條切線.

（3）設，

①時，因為，，所以顯然對任意恒成立；

②時，若，則不成立，

所以不合題意.

③時，時，顯然成立，

只需考慮時情況；

轉化為對任意恒成立

令（），

則，

，

當時，，單調減；

當時，，單調增；

所以，

所以.

綜上所述，的取值范圍.