Question

（1）以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位．已知直線的極坐標方程為θ=

π

4

(ρ∈R)，它與曲線

x=2+ 5 cosθ y=1+ 5 sinθ

(θ為參數）相交于兩點A和B，求|AB|．
（2）在直角坐標系xOy中，直線L的參數方程為

x=3- 5 5 t y=-2+ 2 5 5 t

（t為參數），在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=4cosθ．設圓C與直線L交于點A、B．若點P的坐標為（3，-2），求|PA|+|PB|及|PA|•|PB|．

Answer 1

分析：（1）先利用直角坐標與極坐標間的關系，將極坐標方程為化成直角坐標方程，再將曲線C的參數方程化成普通方程，最后利用直角坐標方程的形式，利用垂徑定理及勾股定理，由圓的半徑r及圓心到直線的距離d，即可求出|AB|的長．
（2）先根據題意得出圓C的普通方程，再根據直線與交與交于A，B兩點，可以把直線與曲線聯立方程，用根與系數關系結合直線參數方程的幾何意義，求出答案．

解答：解：（1）∵ρ=

π

4

，
利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，進行化簡，
∴x-y=0，

x=2+ 5 cosθ y=1+ 5 sinθ

相消去θ可得
圓的方程（x-2）²+（y-1）²=5得到圓心（2，1），半徑r=

5

，
所以圓心（2，1）到直線的距離d=

1

2

=

2

2

，
所以|AB|=2 

r2-d2

=3

2

∴線段AB的長為 3

2

．
（2）圓C的普通方程是（x-2）²+y²=4，
將直線l的參數方程代入并化簡得t²-2

5

t+1=0，
由直線參數方程的幾何意義得，|PA|+|PB|=2

5

，|PA|•|PB|=1．

點評：（1）本小題主要考查圓的參數方程和直線的極坐標方程與直角坐標方程的互化，以及利用圓的幾何性質計算圓心到直線的距等基本方法，屬于基礎題．
（2）此題主要考查參數方程的優越性，及直線與曲線相交的問題，在此類問題中一般可用聯立方程式后用韋達定理求解即可，屬于綜合性試題．