Question

已知兩點M(－2,0)，N(2,0)，點P為坐標平面內的動點，且滿足||||＋·＝0.
(1)求點P的軌跡C的方程；
(2)設過點N的直線l的斜率為k，且與曲線C相交于點S、T，若S、T兩點只在第二象限內運動，線段ST的垂直平分線交x軸于Q點，求Q點橫坐標的取值范圍．

Answer 1

(1)設點P(x，y)，根據題意則有：
＝(4,0)，||＝4，
||＝，＝(x－2，y)，
代入||||＋·＝0
得：4＋4(x－2)＝0.
整理得點P的軌跡C的方程：y²＝－8x.
(2)設S(x₁，y₁)，T(x₂，y₂)，
由題意得：ST的方程為y＝k(x－2)(顯然k≠0)
與y²＝－8x聯立消元得：ky²＋8y＋16k＝0，
則有：y₁＋y₂＝－，y₁y₂＝16.
因為直線交軌跡C于兩點，
則Δ＝b²－4ac＝64－64k²＞0，
再由y₁＞0，y₂＞0，則－＞0，故－1＜k＜0.
可求得線段ST中點B的坐標為(－＋2，－)，
所以線段ST的垂直平分線方程為
y＋＝－(x＋－2)．
令y＝0得點Q橫坐標為x_Q＝－2－，
x_Q＝－2－＜－6.
所以Q點橫坐標的取值范圍為(－∞，－6)．

略